接才华散尽，苦尽甘来

sg456123 · 发表于 2015-6-4 18:29:52

是1/18吗

mufaith · 发表于 2015-6-4 18:38:33

像nmbyy 啊

Arcobaleno · 发表于 2015-6-4 19:03:15

chenyuanyuan 发表于 2015-6-3 01:45
比较懒，太长时间了把精力和体力都磨干了

答案应该是11/144，不知道我是第几个.....

凡是说1/4和3/8的都是异端
需要严密的过程吗？

sgamer2234 · 发表于 2015-6-4 19:44:34

Arcobaleno 发表于 2015-6-4 19:03
答案应该是11/144，不知道我是第几个.....

我想学学，能贴出来吗，谢谢

Arcobaleno · 发表于 2015-6-4 19:59:34

sgamer2234 发表于 2015-6-4 23:44
我想学学，能贴出来吗，谢谢

先放上本题需要用到的关键的推论：
　　　　1，把正方形沿某一直线方向扩大或缩小a倍，那么里面的任意三角形的平均面积也扩大或缩小a倍。这个如果稍微懂一点高数就能用微元法证明。不懂也不妨碍一个高中生理解这条推论。
　　　　2，在边长为1正方行内任取一点，这个点与正方形一对顶点（这对顶点的连线是正方形的一条对角线）所构成的三角形的平均面积是:1/6 （方便起见我叫这样的三角形为A三角形，下面要用到）
　　　　以正方形左下的顶点，两条边作x，y轴，建立坐标。再在上面添一跟垂直xy平面的z轴。用z的值表示坐标为(x,y)的点与正方形的顶点形成的三角形的面积。可以想象出整个的立体图象是关于y=x对称的两个三陵锥。算出体积（公式：底面积乘高除三。这个高中生都懂）。体积再除底面积就是平均的z值。也就是平均的面积。口头算的出是1/2 * 1/3 = 1/6 没图。表叙不方便。不知道能看懂不，后面的更加难表达。其实如果说的清楚的话，要想清楚是很容易的。
　　　　3，在边长为1正方行两条相临的边上面分别任取一点，与正方形的一个顶点（这个顶点不在前面说的两条边上）构成一个三角形，这种三角形的平均面积为：（方便起见我叫这样的三角形为B三角形，下面要用到）
　　　　设边上的两点分别将边长分为a,1-a 与b,1-b 用正方形的面积减去边上围着的3个直角三角形面积，这样就得到B三角形的面积为：
　　　　 1-1/2 * [(1-a)*(1-b) + a + b]=1/2 * (1 - a*b )
　　a * b 的平均值就是我上面那帖里说的关键。我如果用积分做就违规了。如果直接说是1/2 * 1/2 好象有点牵强。可以这样理解设c=1-b那么a * b = a * (1-c)=a- a*c 有c与b是一样的同在0到1内等几率的分布。所以a*b的平均值等于a*c的平均值。又a的平均值为1/2，所以 a*b的平均值为(1/2)/2 = 1/4。所以平均面积为3/8
　　下面开始正式解题：
　　　　设平均面积为x。给正方形的一条边上取一点，过这一点画一条平行与正方形的一条边的直线。将正方形分成面积为a,1-a的两个矩形。那么任取的三角形的3个顶点都在面积为1-a部分的几率为(1-a)^3。至少有一个在面积为a的部分的几率为1-(1-a)^3，设这个情况下的平均面积为y。
　　　　根据上面的推论1，有等式[1-(1-a)^3]*y + (1-a)^3 * (1-a)x = x 可以解出y和x的关系，当a趋向0的时候得到y=4x/3 ( 就是化成两个除式后，分子分母同销掉一个a，在用0直接代替a就可以得到结果）。a趋向0的时候.掉在面积为a的区间上的点可以看做就是在直线的边上。
　　　　把余下的两点按上面的方法处理，把其中一个点也放到对面的那条边上，这样的三角形的平均面积z=[(a^3 - 3a^2 + 3a)/2a]*y
　　　　得到z=3/2 * y 所以z=2x (z三角形的就是有两个点在正方形平行的两条边上，另外一个点是正方形内任意一点）
　　　　接着处理，按上面分的方法，垂直了再分。过程一样，我就不写。这样得到C=2z=4x C这中情况是由1/3 几率的B ，和2/3 几率的A组成。（把3点横向往两条边上推的时候，由于3点不等价，所以会推出两种情况出来）
　　　　这样x=C/4=(A/3 + 2B/3)/4=(1/18+1/4)/4=11/144

chenyuanyuan · 发表于 2015-6-4 19:59:40

Arcobaleno 发表于 2015-6-4 19:03
答案应该是11/144，不知道我是第几个.....

要的呢，答案是这个没错

Arcobaleno · 发表于 2015-6-4 20:02:39

[quote]sgamer2234 发表于 2015-6-4 23:44

Arcobaleno · 发表于 2015-6-4 20:04:09

sgamer2234 发表于 2015-6-4 23:44
我想学学，能贴出来吗，谢谢

当然前面给了一个更简单的算法：
　　#include <iostream.h>
　　#include“stdlib.h“
　　#include <math.h>
　　int N;
　　
　　double Rand(double bottom,double top)
　　{
　　 return ((double)rand()/32767)*(top-bottom)+bottom;
　　}
　　
　　void main()
　　{
　　 int i,j,k,n,c,d;
　　 double a[3][2],s,y,y1;
　　 for(n=0;n<10;n++)
　　 {
　　    cout<<“input the value of N=“;
　　    cin>>N;
　　    y=0;
　　    for(k=0;k<N;k++)
　　    {
　　    for(i=0;i<3;i++)
　　    {
　　    for(j=0;j<2;j++)
　　    a[j]=Rand(0,1);
　　    }
　　    s=fabs((a[2][0]-a[0][0])*(a[1][1]-a[0][1])-(a[1][0]-a[0][0])*(a[2][1]-a[0][1]))/2;
　　    y=y+s;
　　    }
　　    cout<<“平均值=“<<y/N<<endl;
　　 }
　　}

这个只要用最多3分钟打字和查bug，你就能得出答案